Ao contrário do que se espera usualmente, a álgebra vetorial possui diversos tipos de produtos, cada um com suas próprias peculiaridades e usos distintos. Na aula anterior, exploramos as nuances do produto escalar. Vamos agora averiguar os produtos Vetorial e Misto.
Vale lembrar que, dentro do escopo dessa aula, avaliaremos tais produtos apenas para o espaço cartesiano tridimensional.
Vale lembrar que, dentro do escopo dessa aula, avaliaremos tais produtos apenas para o espaço cartesiano tridimensional.
Produto Vetorial
Em algumas aplicações da matemática (e ciência no geral), faz-se necessária a obtenção de vetores a partir de outros, um caso específico seria encontrar vetores ortogonais a outros vetores.
O produto vetorial faz exatamente isso! Dados dois vetores linearmente independentes, ele encontrará um vetor que será ortogonal aos dois ao mesmo tempo.
Para facilitar nossa intuição, antes de definirmos o produto vetorial matematicamente, vamos nos adiantar e já definir algumas de suas propriedades:
O produto vetorial faz exatamente isso! Dados dois vetores linearmente independentes, ele encontrará um vetor que será ortogonal aos dois ao mesmo tempo.
Para facilitar nossa intuição, antes de definirmos o produto vetorial matematicamente, vamos nos adiantar e já definir algumas de suas propriedades:
- A notação do produto vetorial é denotada pelo símbolo \(\times\)
- O produto vetorial é feito entre dois vetores, usaremos \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\). Ou seja, \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\)
- O resultado do produto vetorial é um vetor. Não confunda com o produto escalar, que tem como resultado um número escalar!
- O resultado do produto vetorial depende da ordem, ou seja, \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é diferente de \(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}\)
- \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é diferente de \(\overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}\) porque o sentido deles é oposto. utilizaremos uma simulação para explicar isso melhor a seguir
- O módulo do produto vetorial é igual ao paralelogramo formado entre os dois vetores
Com isso em mãos, veja como o produto vetorial funciona na prática. Na simulação abaixo, estamos computando \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\), onde \(\overrightarrow{u}\) é o vetor laranja, \(\overrightarrow{v}\) é o vetor amarelo e \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é o vetor azul.
Você pode arrastar os vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) clicando e arrastando os círculos nas suas pontas. Veja como o produto vetorial se altera.
Você pode arrastar os vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) clicando e arrastando os círculos nas suas pontas. Veja como o produto vetorial se altera.
Agora é possível ver claramente como a ordem dos vetores altera o produto vetorial, veja que, olhando para o plano onde os vetores se localizam, se \(\overrightarrow{v}\) está no sentido anti-horário de \(\overrightarrow{u}\), o vetor \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) estará "saindo" do plano, caso contrário, estará "entrando" no plano.
A segunda coisa a se notar, é que o módulo de \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é exatamente igual ao paralelogramo formado pelos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), como está em evidência pelo paralelogramo cinza na simulação.
Isso significa que o produto vetorial é uma ótima maneira para calcular áreas de paralelogramos!
A segunda coisa a se notar, é que o módulo de \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é exatamente igual ao paralelogramo formado pelos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), como está em evidência pelo paralelogramo cinza na simulação.
Isso significa que o produto vetorial é uma ótima maneira para calcular áreas de paralelogramos!
Como calcular o produto vetorial
Agora vamos aprender a calcular de fato o produto vetorial. Sendo:
\(\overrightarrow{u}=(u_{1}, u_{2}, u_{3})\)
\(\overrightarrow{v}=(v_{1}, v_{2}, v_{3})\)
Definiremos a expressão do produto vetorial como o determinante da matriz:
\[
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\det\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3}
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3}
\end{vmatrix}
\]
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\det\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3}
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3}
\end{vmatrix}
\]
Em que \(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\) e \(\overrightarrow{k}\) são os vetores unitários da base canônica. Resolvendo o determinante teremos:
\[
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\begin{vmatrix}
u_{2} & u_{3} \\
v_{2} & v_{3}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{i}
+
\begin{vmatrix}
u_{3} & u_{1} \\
v_{3} & v_{1}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{j}
+
\begin{vmatrix}
u_{1} & u_{2} \\
v_{1} & v_{2}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{k}
\]
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\begin{vmatrix}
u_{2} & u_{3} \\
v_{2} & v_{3}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{i}
+
\begin{vmatrix}
u_{3} & u_{1} \\
v_{3} & v_{1}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{j}
+
\begin{vmatrix}
u_{1} & u_{2} \\
v_{1} & v_{2}
\end{vmatrix}
\overrightarrow{k}
\]
\(
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\overrightarrow{i}
+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\overrightarrow{j}
+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\overrightarrow{k}
\)
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\overrightarrow{i}
+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\overrightarrow{j}
+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\overrightarrow{k}
\)
\(
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\quad
u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\quad
u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})
\)
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2},\quad
u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3},\quad
u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})
\)
É exatamente assim que se calcula o produto vetorial!
Veja um exemplo para os vetores \((1,2,3)\) e \((4,5,6)\):
Veja um exemplo para os vetores \((1,2,3)\) e \((4,5,6)\):
\[
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
\]
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
\begin{vmatrix}
\overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6
\end{vmatrix}
\]
\[
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6
\end{vmatrix}
\overrightarrow{i}
+
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
6 & 4
\end{vmatrix}
\overrightarrow{j}
+
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
4 & 5
\end{vmatrix}
\overrightarrow{k}
\]
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}
=
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
5 & 6
\end{vmatrix}
\overrightarrow{i}
+
\begin{vmatrix}
3 & 1 \\
6 & 4
\end{vmatrix}
\overrightarrow{j}
+
\begin{vmatrix}
1 & 2 \\
4 & 5
\end{vmatrix}
\overrightarrow{k}
\]
\(
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
(2\cdot6-3\cdot5)\overrightarrow{i}
+(3\cdot4-1\cdot6)\overrightarrow{j}
+(1\cdot5-2\cdot4)\overrightarrow{k}
\)
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
(2\cdot6-3\cdot5)\overrightarrow{i}
+(3\cdot4-1\cdot6)\overrightarrow{j}
+(1\cdot5-2\cdot4)\overrightarrow{k}
\)
\(
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
(-3,6,-3)
\)
(1,2,3)\times(4,5,6)
=
(-3,6,-3)
\)
O módulo do produto vetorial
É interessante ressaltar que há uma propriedade interessante sobre o módulo do produto vetorial:
- O módulo de \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\) é igual a: \(|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{u}|\sin(\theta)\)
- \(\theta\) é o menor ângulo entre \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\)
Por que isso é verdade? Vamos demonstrar:
Portanto, a expressão para o módulo do produto vetorial é:
\(|\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}|
=
|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \sin(\theta)
\)
=
|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \sin(\theta)
\)
Sabendo disso, concluímos nosso estudo a respeito do produto vetorial e sua definição!
Produto Misto
O terceiro tipo de produto que estudaremos é o Produto Misto (também conhecido como Produto Triplo). Que nada mais é do que um produto vetorial seguido de um produto escalar (por isso "misto"). Portanto, é um produto de três vetores, usaremos \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) e \(\overrightarrow{w}\):
- Produto misto de \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) e \(\overrightarrow{w}\) \(=\) \(\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{v}\)
Note que a ordem dos produtos a serem computados sempre será: Produto vetorial primeiro e depois o escalar, dessa forma: \((\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v})\cdot\overrightarrow{v}\). O que é evidente, se fosse o contrário, tentaríamos aplicar o produto escalar entre um vetor e um escalar, e isso não existe!
A propriedade interessante do produto misto é que seu valor se equivale ao volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Parece uma extensão tridimensional ao módulo do produto vetorial, não? Veja:
A propriedade interessante do produto misto é que seu valor se equivale ao volume do paralelepípedo gerado pelos três vetores. Parece uma extensão tridimensional ao módulo do produto vetorial, não? Veja:
A simulação mostra o significado geométrico do produto misto entre três vetores, é o volume do paralelepípedo, isso significa que podemos usar o produto misto para calcular facilmente volumes de paralelepípedos e suas variações (cubos, romboedros, etc.).
O produto misto pode ter seu valor negativo, a depender da ordem dos vetores. Isso tem a ver com a orientação do espaço vetorial gerado por eles (mas isso está fora do escopo desse curso).
De qualquer forma, o módulo desse número, ou seja, seu valor só que positivo, ainda representa o volume do paralelepípedo.
O cálculo do produto misto, além de poder ser calculado simplesmente pela aplicação direta dos produtos vetorial e escalar, também pode ser calculado pelo seguinte determinante:
O produto misto pode ter seu valor negativo, a depender da ordem dos vetores. Isso tem a ver com a orientação do espaço vetorial gerado por eles (mas isso está fora do escopo desse curso).
De qualquer forma, o módulo desse número, ou seja, seu valor só que positivo, ainda representa o volume do paralelepípedo.
O cálculo do produto misto, além de poder ser calculado simplesmente pela aplicação direta dos produtos vetorial e escalar, também pode ser calculado pelo seguinte determinante:
\[
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}
=
\det\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{vmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{vmatrix}
\]
\overrightarrow{u}\times\overrightarrow{v}\cdot\overrightarrow{w}
=
\det\begin{pmatrix}
\begin{bmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{bmatrix}
\end{pmatrix}
=
\begin{vmatrix}
u_{1} & u_{2} & u_{3} \\
v_{1} & v_{2} & v_{3} \\
w_{1} & w_{2} & w_{3}
\end{vmatrix}
\]
Assim, ele pode ser calculado de maneira ainda mais fácil.
Isso se deve a essa pequena demonstração:
Isso se deve a essa pequena demonstração:
Veja um exemplo do produto misto entre \((5,9,7)\), \((5,5,5)\) e \((0,-6,13)\):
\[
(5,9,7)\times(5,5,5)\cdot(0,-6,13)
=
\begin{vmatrix}
5 & 9 & 7 \\
5 & 5 & 5 \\
0 & -6 & 13
\end{vmatrix}
\]
(5,9,7)\times(5,5,5)\cdot(0,-6,13)
=
\begin{vmatrix}
5 & 9 & 7 \\
5 & 5 & 5 \\
0 & -6 & 13
\end{vmatrix}
\]
\[
(5,9,7)\times(5,5,5)\cdot(0,-6,13)
=
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
-6 & 13
\end{vmatrix}
5
+
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
13 & 0
\end{vmatrix}
9
+
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
0 & -6
\end{vmatrix}
7
\]
(5,9,7)\times(5,5,5)\cdot(0,-6,13)
=
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
-6 & 13
\end{vmatrix}
5
+
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
13 & 0
\end{vmatrix}
9
+
\begin{vmatrix}
5 & 5 \\
0 & -6
\end{vmatrix}
7
\]
\((5,9,7)\times(5,5,5)\cdot(0,-6,13)=-320\)
Com isso, aprendemos as definições dos produtos vetorial e misto, como calculá-los, e também suas intuições geométricas!
