Uma das ferramentas mais poderosas para a manipulação e análise de vetores é o Produto Escalar. Veremos a sua definição e como ele se relaciona com ângulos e projeções entre vetores.
Produto Escalar
Imaginemos dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\). Nosso objetivo atual é investigar como se relaciona o ângulo entre eles e suas próprias coordenadas.
Note que um dos melhores polígonos para o estudo de ângulos é o triângulo, afinal, suas propriedades são extensivamente estudadas e conhecidas.
Sendo assim, para facilitar nosso estudo, vamos obter um triângulo a partir dos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\):
Note que um dos melhores polígonos para o estudo de ângulos é o triângulo, afinal, suas propriedades são extensivamente estudadas e conhecidas.
Sendo assim, para facilitar nosso estudo, vamos obter um triângulo a partir dos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\):
Perceba que subtrair o vetor \(\overrightarrow{v}\) do \(\overrightarrow{u}\) e posicionar a origem do vetor resultante na ponta do vetor \(\overrightarrow{v}\) gera um triângulo (tente provar isso matematicamente).
Veja as informações que temos desse triângulo:
Veja as informações que temos desse triângulo:
- Lados: \(|\overrightarrow{v}|\), \(|\overrightarrow{u}|\) e \(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|\)
- Ângulo entre \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\): \(\theta\). Para garantir que \(\theta\) seja o menor ângulo entre os vetores, \(\theta<\pi\)
- O lado \(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|\) é oposto ao ângulo \(\theta\)
Já existe um artifício matemático amplamente conhecido que utiliza exatamente essas informações. A Lei dos Cossenos.
Para um triângulo qualquer de lados \(a\), \(b\), \(c\) e ângulo \(\theta\) (sendo \(c\) o lado oposto de \(\theta\)), a Lei dos Cossenos toma a seguinte expressão:
Para um triângulo qualquer de lados \(a\), \(b\), \(c\) e ângulo \(\theta\) (sendo \(c\) o lado oposto de \(\theta\)), a Lei dos Cossenos toma a seguinte expressão:
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta) \quad [1]\)
Aplicando-a ao triângulo formado pelos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\), temos:
\(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 = |\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 - 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \quad [2]\)
A partir de agora, por conveniência, trabalharemos no espaço bidimensional, entretanto, o conceito se estende a \(n\) dimensões, bastando adicionar os componentes respectivos de cada dimensão:
- Para 2D: \(\overrightarrow{u}=(u_{1}, u_{2}) \qquad \overrightarrow{v}=(v_{1}, v_{2})\)
- Para \(n\)D: \(\overrightarrow{u}=(u_{1}, u_{2},..., u_{n}) \qquad \overrightarrow{v}=(v_{1}, v_{2},..., v_{n})\)
Usando a definição de módulo para uma base ortonormal, vamos abrir a expressão de \(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2\) para descrevê-lo em função dos módulos dos vetores originais:
\(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 =(u_{1} - v_{1})^2 + (u_{2} - v_{2})^2\)
\(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 =(u_{1}^2 + v_{1}^2 - 2u_{1}v_{1}) + (u_{2}^2 + v_{2}^2 - 2u_{2}v_{2})\)
\(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 =(u_{1}^2 + u_{2}^2) + (v_{1}^2 + v_{2}^2)- 2(u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2}) \quad [3]\)
Substituindo os módulos dos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) de volta em \([3]\), obtemos uma nova expressão para \(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2\):
\(|\overrightarrow{u} - \overrightarrow{v}|^2 =|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2- 2(u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2}) \quad [4]\)
Igualando as expressões \([2]\) e \([4]\):
\(|\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2- 2(u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2}) = |\overrightarrow{u}|^2 + |\overrightarrow{v}|^2 - 2 |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta)\)
Simplificando:
\(u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \quad [5]\)
Perceba como a expressão \([5]\) oferece uma maneira elegante de relacionar as coordenadas dos vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) com o ângulo entre eles e seus módulos.
Veja que para obter tal resultado, basta multiplicar cada componente dos dois vetores um a um.
Por essa conveniência, e também pelo fato de essa operação aparecer de forma recorrente no uso da Geometria Analítica e da Álgebra Linear, a ela foi dado um nome: Produto Escalar.
Assim, o produto escalar entre dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) para \(n\) dimensões, caracterizado pela notação de ponto "\(\cdot\)", pode ser definido como:
Veja que para obter tal resultado, basta multiplicar cada componente dos dois vetores um a um.
Por essa conveniência, e também pelo fato de essa operação aparecer de forma recorrente no uso da Geometria Analítica e da Álgebra Linear, a ela foi dado um nome: Produto Escalar.
Assim, o produto escalar entre dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) para \(n\) dimensões, caracterizado pela notação de ponto "\(\cdot\)", pode ser definido como:
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} = u_{1}v_{1} + u_{2}v_{2} + ... + u_{n}v_{n} = |\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}| \cos(\theta) \quad [6]\)
Perceba que o resultado do produto escalar é um número escalar. Faz sentido, não?
Ângulo Entre Dois Vetores
A partir da definição do produto escalar, torna-se trivial encontrar o ângulo entre dois vetores, basta isolar o \(\theta\) da equação \([6]\):
\[\cos(\theta)=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}\]
\[\theta=\arccos\begin{pmatrix}
\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}
\end{pmatrix}\]
\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{v}|}
\end{pmatrix}\]
Na simulação a seguir, você poderá movimentar os vetores e formar infinitas conformações diferentes, treine o cálculo do produto escalar e do ângulo e compare os resultados:
Observação: Os valores da simulação estão truncados a duas casas decimais, então, existem pequenos desvios nos valores exibidos.
Perceba que nessa formulação, calculamos o menor ângulo entre os vetores. Além disso, vale ressaltar que, devido ao cosseno de \(\theta\), temos:
- Se \(\theta=\frac{\pi}{2}\), \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=0\)
- Se \(\theta<\frac{\pi}{2}\), \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}>0\)
- Se \(\theta>\frac{\pi}{2}\), \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}<0\)
Essa é uma propriedade muito interessante que será útil para a formulação de projeção ortogonal, entre outros assuntos na Geometria Analítica e Álgebra Linear.
Projeção Ortogonal
O conceito de projeção pode ser entendido facilmente ao imaginar que determinado objeto é irradiado com um feixe de luz, deixando seu contorno em forma de "sombra" em determinada superfície.
Dentro do escopo dessa aula, trataremos apenas da projeção ortogonal de um vetor em outro, ou seja, podemos imaginar que o "feixe" é lançado de maneira ortogonal ao vetor que receberá a projeção, veja abaixo tal intuição:
Dentro do escopo dessa aula, trataremos apenas da projeção ortogonal de um vetor em outro, ou seja, podemos imaginar que o "feixe" é lançado de maneira ortogonal ao vetor que receberá a projeção, veja abaixo tal intuição:
Veja que a "sombra" que o primeiro vetor projeta na reta definida pelo segundo vetor (horizontal nesse caso), representa justamente a projeção do primeiro vetor no segundo.
Como calcular a projeção ortogonal?
- Assumiremos dois vetores: \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\)
- \(\overrightarrow{v}\) será projetado em \(\overrightarrow{u}\)
- A notação utilizada para denotar projeção é \(proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}\)
Para nosso desenvolvimento, denotaremos:
- \(proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{1}}\)
- por ser colinear ao vetor \(\overrightarrow{v}\), \(\overrightarrow{v_{1}}\) pode ser escrito como \(a\overrightarrow{u}\)
- \(a\) é um número escalar específico que se multiplicado a \(\overrightarrow{u}\), gera \(\overrightarrow{v_{1}}\)
- \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}}\)
- \(\overrightarrow{v_{2}}\) é ortogonal a \(\overrightarrow{v_{1}}\). Pois a projeção é ortogonal
Veja na simulação abaixo como esse sistema funciona visualmente:
Com essas informações, podemos pensar em como aplicar o produto escalar que acabamos de desenvolver para encontrar uma expressão para o vetor \(\overrightarrow{v_{1}}\) em função de \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\). Temos:
\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}} \quad [7]\)
\(\overrightarrow{v_{1}}=a\overrightarrow{u}\)
Agora, vamos aproveitar a ortogonalidade do vetor \(\overrightarrow{v_{2}}\) com o vetor \(\overrightarrow{u}\), pois assim, podemos dizer que o produto escalar entre eles é nulo:
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v_{2}}=0\)
Mas, isolando \(\overrightarrow{v_{2}}\) na equação \([7]\):
\(\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v} - \overrightarrow{v_{1}})=0\)
\(\overrightarrow{u}\cdot(\overrightarrow{v} - a\overrightarrow{u})=0\)
Portanto:
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v} - a(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u})=0\)
Assim, obtemos uma expressão para \(a\):
\[a=\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}\]
Como \(\overrightarrow{v_{1}}=a\overrightarrow{u}\), e \(\overrightarrow{v_{1}}\) é exatamente o que queremos encontrar, podemos finalmente obter a expressão para a projeção de um vetor sobre outro:
\[proj_{\overrightarrow{u}}\overrightarrow{v} =
\begin{pmatrix}
\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}
\end{pmatrix}
\overrightarrow{u}\]
\begin{pmatrix}
\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}}
\end{pmatrix}
\overrightarrow{u}\]
É interessante ressaltar que \(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u}\) equivale ao módulo do vetor \(\overrightarrow{u}\):
\(\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{u} = u_{1}u_{1} + u_{2}u_{2} + u_{3}u_{3} = |\overrightarrow{u}|\)
Agora que já temos posse do arcabouço matemático para encontrar projeções, você pode utilizar a simulação anterior para testar seu conhecimento calculando projeções de qualquer conformação dos vetores que preferir.
Verifique se seus resultados coincidem com os da simulação.
Assim, aprendemos os conceitos de produto escalar, ângulo entre vetores e projeção ortogonal!
Verifique se seus resultados coincidem com os da simulação.
Assim, aprendemos os conceitos de produto escalar, ângulo entre vetores e projeção ortogonal!
