Para se poder trabalhar com vetores e entender seu comportamento, é de extrema importância definir suas operações básicas.
Assim como números escalares possuem operações como adição, subtração, multiplicação, etc. Vetores também as possuem, vamos defini-las e investigar como os vetores se comportam ao ser submetidos a elas.
Assim como números escalares possuem operações como adição, subtração, multiplicação, etc. Vetores também as possuem, vamos defini-las e investigar como os vetores se comportam ao ser submetidos a elas.
Adição entre vetores
O resultado da operação de adição pode ser extendido para vetores como o vetor onde cada um de seus componentes equivale à soma dos componentes de cada vetor a ser somado.
\(\overrightarrow{v_{1}}\,=\,\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right)\)
\(\overrightarrow{v_{2}}\,=\,\left(b_{1},\,b_{2},\,\ldots,\,b_{n}\right)\)
\(\overrightarrow{v_{3}}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots,a_{n}+b_{n})\)
Veja um exemplo para um caso específico no 2D:
\(\overrightarrow{v_{1}}=(1,3)\)
\(\overrightarrow{v_{2}}=(8,3.7)\)
\(\overrightarrow{v_{3}}=\overrightarrow{v_{1}}+\overrightarrow{v_{2}}=(1+8,3+3.7)=(9,6.7)\)
A interpretação geométrica da soma entre vetores pode ser observada como a justaposição de um vetor na ponta do outro.
O vetor resultante da soma será equivalente ao vetor representado pelo segmento do ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do último vetor, veja abaixo a soma de três vetores:
O vetor resultante da soma será equivalente ao vetor representado pelo segmento do ponto inicial do primeiro vetor até o ponto final do último vetor, veja abaixo a soma de três vetores:
Adição entre ponto e vetor
Outro tipo de adição que pode ser feita sobre um vetor é a soma de ponto com vetor. Mecanicamente, ela é análoga à adição entre dois vetores, entretanto, seu significado é distinto. Definimos a operação da seguinte forma:
\(P_{1}\,=\,\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots,\,a_{n}\right)\)
\(\overrightarrow{v_{1}}\,=\,\left(b_{1},\,b_{2},\,\ldots,\,b_{n}\right)\)
\(P_{2}=\overrightarrow{v_{1}}+P_{1}=(a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots,a_{n}+b_{n})\)
Veja que a operação é exatamente a mesma que a soma entre dois vetores, entretanto, o resultado dela não é um vetor, mas sim um novo ponto.
Seu significado geométrico resulta na deslocação do ponto ao longo do representante do vetor que se inicia nas coordenadas do próprio ponto, gerando um segundo ponto na ponta deste representante.
Na simulação abaixo, no 2D, você pode interagir com o ponto e somá-lo com o vetor gerado pela posição do seu mouse relativa ao próprio ponto:
Seu significado geométrico resulta na deslocação do ponto ao longo do representante do vetor que se inicia nas coordenadas do próprio ponto, gerando um segundo ponto na ponta deste representante.
Na simulação abaixo, no 2D, você pode interagir com o ponto e somá-lo com o vetor gerado pela posição do seu mouse relativa ao próprio ponto:
É importante entender que mesmo que a aritmética das operações de soma entre "vetores e vetores" e "pontos e vetores" seja a mesma, o resultado é diferente, afinal, pontos e vetores são objetos matemáticos distintos.
Note que não é possível somar um número escalar a um vetor, pois isso resultaria em incongruência dimensional.
Note que não é possível somar um número escalar a um vetor, pois isso resultaria em incongruência dimensional.
Multiplicação entre escalar e vetor
Existem múltiplos conceitos de multiplicação relacionados a vetores, como os produtos escalar (diferente de produto de escalar com vetor), vetorial e misto, entretanto, esses serão tratados separadamente em outras aulas.
O produto mais básico de todos é o produto entre um número escalar (\(a\)) e um vetor (\(\overrightarrow{v_{1}}\)), que pode ser definido da seguinte forma:
O produto mais básico de todos é o produto entre um número escalar (\(a\)) e um vetor (\(\overrightarrow{v_{1}}\)), que pode ser definido da seguinte forma:
\(\overrightarrow{v_{1}}\,=\,\left(b_{1},\,b_{2},\,\ldots,\,b_{n}\right)\)
\(\overrightarrow{v_{2}}=a \overrightarrow{v_{1}}=(a\cdot b_{1},a\cdot b_{2},\ldots,a\cdot b_{n})\)
Veja um exemplo para um caso específico no 3D:
\(\overrightarrow{v_{1}}=(5,9,1.5)\)
\(\overrightarrow{v_{2}}=3 \overrightarrow{v_{1}}=(3\cdot 5,3\cdot 9,3\cdot 1.5)=(15,27,4.5)\)
Na simulação abaixo, é possível ver como o coeficiente de multiplicação (escalar) \(a\), afeta o vetor \(\overrightarrow{v}\) multiplicado:
Perceba que escalares negativos invertem o sentido do vetor após a multiplicação.
Subtração entre vetores
Após definir a multiplicação entre escalar e vetor, é natural perceber que a subtração entre dois vetores nada mais é que a soma do primeiro vetor ao segundo vetor multiplicado por -1 (seu oposto).
\(\overrightarrow{v_{1}}-\overrightarrow{v_{2}}=\overrightarrow{v_{1}}+(-1)\overrightarrow{v_{2}}\)
Magnitude
Agora definiremos a expressão matemática do conceito de magnitude, também chamado de módulo e norma. As notações comumente utilizadas para a magnitude de um vetor são formadas por:
- Barra única: \(|\overrightarrow{v}|\)
- Barra dupla: \(||\overrightarrow{v}||\)
A sua definição segue basicamente da verificação de que a magnitude de um vetor nada mais é que a distância entre suas extremidades inicial e final.
Para calcular essa distância em um plano cartesiano bidimensional simples, basta realizar a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo vetor e suas coordenadas \(x\) e \(y\), onde a norma \(|\overrightarrow{v}|\) equivale à sua hipotenusa, resultando na seguinte equação:
Para calcular essa distância em um plano cartesiano bidimensional simples, basta realizar a aplicação do teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo vetor e suas coordenadas \(x\) e \(y\), onde a norma \(|\overrightarrow{v}|\) equivale à sua hipotenusa, resultando na seguinte equação:
\(\overrightarrow{v}=(x,y)\)
\(|\overrightarrow{v}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
É possível generalizar essa abordagem para vetores de qualquer dimensão, resultando na expressão:
\(\overrightarrow{v}=(v_{1},v_{2},...,v_{n})\)
\(|\overrightarrow{v}|=\sqrt{v_{1}^2+v_{2}^2+...+v_{n}^2}\)
Um exemplo específico no 4D:
\(\overrightarrow{v}=(5,-4,7,0)\)
\(|\overrightarrow{v}|=\sqrt{5^2+(-4)^2+7^2+0^2}=\sqrt{90}\approx9.48\)
Assim, definimos com sucesso algumas operações básicas extremamente importantes que permearão toda a teoria dos vetores.
