No dia a dia é extremamente comum encontrarmos e definirmos valores para coisas. Em geral, quantidades podem ser bem descritas por meio de grandezas escalares.
Mas será que tal paradigma apenas já é suficiente para explicar qualquer medida? Imagine um jogo de sinuca, será que a velocidade das bolas é totalmente explicada por um simples número? Vamos verificar.
Na simulação abaixo, pode-se verificar claramente (pelas setas) que o movimento dos objetos é descrito não só pela magnitude da sua velocidade, mas também pela sua direção e sentido. Foi pensando em casos como esse que foi desenvolvida a formulação de grandezas vetoriais.
Mas será que tal paradigma apenas já é suficiente para explicar qualquer medida? Imagine um jogo de sinuca, será que a velocidade das bolas é totalmente explicada por um simples número? Vamos verificar.
Na simulação abaixo, pode-se verificar claramente (pelas setas) que o movimento dos objetos é descrito não só pela magnitude da sua velocidade, mas também pela sua direção e sentido. Foi pensando em casos como esse que foi desenvolvida a formulação de grandezas vetoriais.
Justamente por terem a propriedade de descrever orientações, os vetores podem ser usados para desenvolver projetos físicos em geral, como automóveis, aeronaves, construção civil e objetos em geral que estejam sujeitos às leis da física, ou seja, praticamente qualquer coisa!
Além disso, por ser um dos elementos base da Álgebra Linear, os vetores também podem ser utilizados como fontes de informação. Sendo por exemplo, em conjunto às matrizes, a base formal das famosas redes neurais que nos possibilitaram a criar a Inteligência Artificial moderna.
Além disso, por ser um dos elementos base da Álgebra Linear, os vetores também podem ser utilizados como fontes de informação. Sendo por exemplo, em conjunto às matrizes, a base formal das famosas redes neurais que nos possibilitaram a criar a Inteligência Artificial moderna.
Magnitude, direção e sentido
Antes de definir formalmente o que é um vetor, é interessante que se conheça com maior exatidão o significado dos conceitos de magnitude, direção e sentido, mencionados anteriormente, dessa forma, podemos definir:
- Magnitude: A quantidade total de uma grandeza. Também chamado de Norma ou Módulo.
- Direção: É o que se define pela existência de uma reta, ou seja, uma orientação linear no espaço.
- Sentido: É o que se define pela orientação da ponta de uma seta, apontando de fato para um local no espaço.
Os conceitos de direção e sentido são comumente confundidos entre si, para garantir sua distinção, podemos observá-la visualmente abaixo, clique e arraste com seu mouse na ponta da seta central para alterar sua magnitude, direção e sentido.
Equipolência
Para alguns títulos da literatura, a seta representada acima não é de fato um vetor, mas sim, o representante de um. Um vetor na realidade é definido como o conjunto de todos os segmentos orientados semelhantes em comprimento e orientação possíveis dentro de seu espaço.
Dessa forma, é impossível realmente visualizar um vetor, afinal, ele se apresenta como um conjunto infinito. Entretanto, podemos aproximar sua compreensão ao observar um conjunto de segmentos como o abaixo, que caracterizaria um subconjunto dentre todos os segmentos orientados que compõem o vetor propriamente dito.
Controle a seta representante em laranja clicando e arrastando com o mouse e veja como ela afeta as outras.
Dessa forma, é impossível realmente visualizar um vetor, afinal, ele se apresenta como um conjunto infinito. Entretanto, podemos aproximar sua compreensão ao observar um conjunto de segmentos como o abaixo, que caracterizaria um subconjunto dentre todos os segmentos orientados que compõem o vetor propriamente dito.
Controle a seta representante em laranja clicando e arrastando com o mouse e veja como ela afeta as outras.
Note que o vetor pode ser representado por todos os segmentos orientados exibidos, não apenas o de cor laranja.
Assim, podemos obter mais tato sobre o verdadeiro significado de um vetor, e entender o porquê de tal elemento ser comumente referido como “classe de equipolência de segmentos orientados”, ou seja, o conjunto de todos os segmentos orientados semelhantes entre si dentro de determinado espaço.
Entretanto, é necessário entender que o conceito e utilização dos vetores pode mudar a depender de sua área de aplicação. Por exemplo, na programação de computadores, os vetores geralmente são definidos como "enuplas", ou seja, sequências ordenadas de "n" elementos (a depender do número de dimensões de seu espaço).
Tais definições, em sua maioria, ainda mantém as propriedades da definição matemática, mas são tratadas com diferentes interpretações.
Assim, podemos obter mais tato sobre o verdadeiro significado de um vetor, e entender o porquê de tal elemento ser comumente referido como “classe de equipolência de segmentos orientados”, ou seja, o conjunto de todos os segmentos orientados semelhantes entre si dentro de determinado espaço.
Entretanto, é necessário entender que o conceito e utilização dos vetores pode mudar a depender de sua área de aplicação. Por exemplo, na programação de computadores, os vetores geralmente são definidos como "enuplas", ou seja, sequências ordenadas de "n" elementos (a depender do número de dimensões de seu espaço).
Tais definições, em sua maioria, ainda mantém as propriedades da definição matemática, mas são tratadas com diferentes interpretações.
Dimensões
Os vetores podem ser descritos para qualquer número de dimensões, o que amplia largamente sua utilização, transformando-os em ferramentas extremamente poderosas para descrever fenômenos muito complexos.
Veja a representação de um grupo dinâmico de vetores no espaço tridimensional:
Veja a representação de um grupo dinâmico de vetores no espaço tridimensional:
Para dimensões acima de 3, não é possível visualizar os vetores de maneira geométrica simples. Entretanto, suas propriedades matemáticas se mantém, conservando assim, seu poder descritivo para processamento de informações multidimensionais.
Um exemplo útil do uso de um vetor multidimensional seria a avaliação da temperatura em uma sala, onde teríamos um vetor de 4 dimensões: \((x, y, z, T)\), que captura informações sobre as posições dos pontos no espaço (\(x\), \(y\) e \(z\)) e suas respectivas temperaturas (\(T\)).
Um exemplo útil do uso de um vetor multidimensional seria a avaliação da temperatura em uma sala, onde teríamos um vetor de 4 dimensões: \((x, y, z, T)\), que captura informações sobre as posições dos pontos no espaço (\(x\), \(y\) e \(z\)) e suas respectivas temperaturas (\(T\)).
Notação Matemática
Para poder trabalhar adequadamente com vetores, é evidente a necessidade de notação matemática apropriada, assim, podemos representar um vetor da seguintes maneiras:
- \(\overrightarrow{v}\to\) A utilização da seta sobre a letra que o denomina é umas das maneiras mais comuns de se representar um vetor.
- \(v\to\) Em alguns casos, em que não se espera alto rigor de notação, vetores podem ser representados com apenas uma letra simples.
- \(\overrightarrow{A B}\to\) representação pela referência de um ponto inicial \(A\) e um ponto final \(B\).
- \(\,(x_{1},x_{2},x_{3},\ldots,x_{n})\to\) Representação como forma de dimensões isoladas, facilita sua visualização numérica, por exemplo: \(\overrightarrow{v_{1}}=\left(1,0.5,\frac{3}{2}\right)\).
Ao longo do curso, desvendaremos várias nuances e operações relativas ao comportamento desses elementos tão importantes para a ciência!
